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Em Matemática diz-se que duas figuras são semelhantes se possuírem a mesma forma, podendo ou não ser do mesmo tamanho.
Tal como ilustra o esquema seguinte, é possível obter figuras semelhantes quando aumentamos, diminuirmos ou mantemos o tamanho de uma figura (mantendo a sua forma).
Dois polígonos são semelhantes quando:
Exemplo
Averiguemos se os dois polígonos são semelhantes.
Primeiro, é necessário saber identificar os elementos correspondentes:
Pela figura verifica-se que:
$$D\hat{A}B = H\hat{E}F$$
$$A\hat{B}C = E\hat{F}G$$
$$B\hat{C}D = F\hat{G}H$$
$$C\hat{D}A = E\hat{H}G$$
Logo os ângulos internos correspondentes são iguais.
$$\frac{\overline{EF}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{FG}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{GH}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{EH}}=2$$
Como os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são diretamente proporcionais, os polígonos \([ABCD]\) e \([EFGH]\) são semelhantes.
À constante de proporcionalidade, que neste caso é 2, chama-se razão de semelhança.
Se a razão de semelhança é:
Seja \(r\) a razão de semelhança que transforma uma figura original na sua transformada, tem-se as seguintes relações:
A razão de semelhança: $$\frac{\text{Lado transformado}}{\text{Lado original}}=r$$
A razão entre os perímetros é: $$\frac{\text{Perímetro transformado}}{\text{Perímetro original}}=r$$
A razão entre as áreas é: $$\frac{\text{Área transformado}}{\text{Área original}}=r^{2}$$
Exemplo
Considera os dois polígonos semelhantes, sendo 2 a razão de semelhança que transforma \([ABC]\) em \([DEF]\). Sabe-se que ([ABC]\) tem 12 \(\text{cm}\) de perímetro e 6 \(\text{cm}^{2}\) de área.
– Perímetro
Uma vez que a razão entre os perímetros é dada pela expressão:
$$\frac{\text{Perímetro transformado}}{\text{Perímetro original}}=r$$
Substituindo os dados tem-se:
$$\frac{\text{Perímetro transformado}}{\text{12}}=2\Leftrightarrow \text{Perímetro transformado}=2\times12=24 \text{ cm}$$
– Áreas
Uma vez que a razão entre os perímetros é dada pela expressão:
$$\frac{\text{Área transformado}}{\text{Área original}}=r^{2}$$
Substituindo os dados tem-se:
$$\frac{\text{Área transformado}}{\text{6}}=2^{2}\Leftrightarrow \text{Área transformado}=4\times6=24 \text{ cm}^{2}$$