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Desde os primórdios da civilização, o ser humano sentiu a necessidade de contar e quantificar o mundo ao seu redor. Esta necessidade levou à criação dos números naturais, um conjunto que utilizamos diariamente para enumerar objetos, marcar datas e medir quantidades.
Por exemplo, ao contar o número de fatias de pizza num prato, usamos os números naturais: uma, duas, três ou até mesmo nenhuma (zero). Este conjunto de números é representado pelo símbolo \(\mathbb{N}\):
$$\mathbb{N}=\left\{0,1,2,3… \right\}$$
No entanto, os números naturais não são suficientes para quantificar tudo o que nos rodeia. Por exemplo, pensaremos nas temperaturas que atingem em Portugal. O normal é termos temperaturas positivas, por exemplo 12ºC e 16ºC. Por outro lado, nos dias mais frios, é possível atingir os 0ºC ou até mesmo temperaturas negativas, como é o caso de -1 e do -2.
Uma vez que os números representados não têm casas decimais, dizemos que são números inteiros.
É o conjunto formado pelos números inteiros negativos, inteiros positivos e pelo zero, e representa-se pela letra \(\mathbb{Z}\) .
$$\mathbb{Z}=\left\{…,-3,-2,-1,0,1,2,3… \right\}$$
Podemos ainda considerar outros subconjuntos do conjunto \(\mathbb{Z}\):
\(\mathbb{Z}^{-}=\left\{…,-3,-2,-1 \right\}\to\) conjunto dos inteiros negativos
\(\mathbb{Z}_{0}^{-}=\left\{…,-3,-2,-1,0 \right\}\to\) conjunto dos inteiros não positivos
\(\mathbb{Z}^{+}=\left\{1,2,3,… \right\}\to\) conjunto dos inteiros positivos
\(\mathbb{Z}_{0}^{+}=\left\{0,1,2,3,… \right\}\to\) conjunto dos inteiros não negativos \(=\mathbb{N}\)
Muitas vezes, é útil representarmos os números numa reta chamada reta numérica.
O valor absoluto, ou módulo, é a distância do ponto que o representa na reta numérica à origem. Por exemplo, considera o ponto A na reta numérica abaixo.
A distância do ponto à origem é de duas unidades. Por outras palavras diz-se que o valor absoluto de \(2\) é \(2\) , e escreve-se \(|2|=2\).
Observa agora o ponto B.
O ponto B está também a duas unidades de distância da origem. Logo o seu valor absoluto é igualmente \(2\), ou seja,\(|-2|=2\).
Repara que os pontos A e B têm o mesmo valor absoluto. Quando isso acontece, diz-se que os dois números são simétricos. Ou seja:
Por outras palavras, o simétrico de um número é o mesmo número, mas com sinal contrário.
Dados dois números, é maior o que se encontrar mais à direita na reta numérica. Por exemplo:
Repara que se ambos forem negativos, é maior o que tiver menor valor absoluto. (mais próximo do zero!)
Na adição e subtração de dois números inteiros:
$$+2+3=+5$$
$$-1-3=-4$$
$$+4-1=+3$$
$$+1-3=-2$$
Expressões numéricas com parênteses
Para simplificar uma expressão numérica com parênteses, pode-se utilizar as seguintes regras:
Compreendemos agora como os números naturais e inteiros se interligam, formando a base da aritmética e permitindo operações como adição e subtração. Estes conceitos preparam-nos para um próximo passo essencial: os números racionais.