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1. Figuras Semelhantes

Em Matemática diz-se que duas figuras são semelhantes se possuírem a mesma forma, podendo ou não ser do mesmo tamanho.

Tal como ilustra o esquema seguinte, é possível obter figuras semelhantes quando aumentamos, diminuirmos ou mantemos o tamanho de uma figura (mantendo a sua forma).

2. Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes quando:

  • os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais;
  • os ângulos internos correspondentes são iguais.

Exemplo 1

Averiguemos se os dois polígonos são semelhantes.

Primeiro, é necessário saber identificar os elementos correspondentes:

  • Ângulos

Pela figura verifica-se que:

D\hat{A}B = H\hat{E}F

A\hat{B}C = E\hat{F}G

B\hat{C}D = F\hat{G}H

C\hat{D}A = E\hat{H}G

Logo os ângulos internos correspondentes são iguais.

  • Lados

\frac{\overline{EF}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{FG}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{GH}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{EH}}=2

Como os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são diretamente proporcionais, os polígonos [ABCD] e [EFGH] são semelhantes.

À constante de proporcionalidade, que neste caso é 2, chama-se razão de semelhança.

Se a razão de semelhança é:

  • Igual a 1, então as figuras são geometricamente iguais;
  • Maior que 1, então ocorreu uma ampliação;
  • Menor que 1, então ocorreu uma redução.

Seja r a razão de semelhança que transforma uma figura original na sua transformada, tem-se as seguintes relações:

A razão de semelhança: \frac{\text{Lado transformado}}{\text{Lado original}}=r

A razão entre os perímetros é: \frac{\text{Perímetro transformado}}{\text{Perímetro original}}=r

A razão entre as áreas é: \frac{\text{Área transformado}}{\text{Área original}}=r^{2}

Exemplo 2

Considera os dois polígonos semelhantes, sendo 2 a razão de semelhança que transforma  [ABC] em [DEF]. Sabe-se que ([ABC]\) tem 12 \text{cm} de perímetro e 6 \text{cm}^{2} de área.

 – Perímetro

Uma vez que a razão entre os perímetros é dada pela expressão:

\frac{\text{Perímetro transformado}}{\text{Perímetro original}}=r

Substituindo os dados tem-se:

\frac{\text{Perímetro transformado}}{\text{12}}=2\Leftrightarrow \text{Perímetro transformado}=2\times12=24 \text{ cm}

 – Áreas

Uma vez que a razão entre as áreas é dada pela expressão:

\frac{\text{Área transformado}}{\text{Área original}}=r^{2}

Substituindo os dados tem-se:

\frac{\text{Área transformado}}{\text{6}}=2^{2}\Leftrightarrow \text{Área transformado}=4\times6=24 \text{ cm}^{2}

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Semelhança de Figuras 7

Lado transformado / Lado original = r

1 / 11

Qual é a razão de semelhança que transforma o triângulo F1 em F2?

2 / 11

Qual é a razão de semelhança que transforma o triângulo F2 em F1?

3 / 11

Qual é a razão de semelhança que transforma o triângulo F2 em F1?

4 / 11

Dois triângulos são semelhantes. O perímetro do triângulo menor é 15 cm e o perímetro do maior é 30 cm. Qual é a razão de semelhança que transforma o menor no maior?

5 / 11

Dois triângulos são semelhantes. O perímetro do triângulo menor é 12 cm e o perímetro do triângulo maior é 36 cm. Qual é a razão de semelhança que transforma o maior no menor ?

6 / 11

Dois triângulos são semelhantes com uma razão de semelhança de 3. Se o perímetro do triângulo menor é 12 cm, qual é o perímetro do triângulo maior?

7 / 11

Dois triângulos são semelhantes com uma razão de semelhança de 1⁄2  . O perímetro do triângulo menor é 18 cm. Qual é o perímetro do triângulo maior?

8 / 11

Dois quadrados semelhantes têm uma razão de semelhança de 2. Se a área do quadrado menor é 10 cm², qual é a área do quadrado maior?

9 / 11

Dois triângulos são semelhantes com uma razão de semelhança de 3. A área do triângulo maior é 27 cm² . Qual é a área do triângulo menor?

10 / 11

Dois triângulos são semelhantes. A área do triângulo menor é 4 cm² e a área do triângulo maior é 16 cm². Qual é a razão de semelhança que transforma o maior no menor?

11 / 11

Dois quadrados são semelhantes. A área do quadrado menor é 25 cm², e a área do quadrado maior é 100 cm². Qual é a razão de semelhança que transforma o menor no maior?

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