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As equações e expressões algébricas são ferramentas essenciais na matemática, permitindo-nos resolver problemas e compreender relações entre quantidades desconhecidas. Neste artigo, vamos explorar os conceitos básicos de expressões algébricas, a noção de equação, e como resolvê-las de forma simples e prática.
As expressões algébricas são combinações de números, letras (que representam variáveis) e operações matemáticas, como adição, subtração, multiplicação e divisão. São extremamente úteis na matemática, pois nos permitem generalizar situações e resolver problemas.
Por exemplo, podemos considerar a soma do triplo de um número com o número dois:
Nesta expressão, o número 3 é chamado de coeficiente, a letra \(x\) é a variável, e o número 2 é uma constante.
No exemplo anterior, cada uma das partes da expressão \(3x\) e \(2\) é chamada de termo. Um termo pode ser um número, uma variável, ou a multiplicação de números e variáveis.
Nos termos que envolvem a multiplicação de um número por uma ou mais letras, ao número chamamos de coeficiente (ou parte literal) e às letras dá-se o nome de parte literal.
Simplificar expressões numéricas
Para usar as expressões numéricas, muitas é preciso simplificá-las. Esse processo consiste em tornar a expressão mais simples, agrupando termos com a mesma parte literal e reduzindo ao máximo o número de operações. Para entender como isso funciona, vamos usar exemplos do dia-a-dia.
Exemplo 1 (Partes literais iguais)
A Maria comprou 4 rebuçados e o Pedro comprou 6 rebuçados. Cada rebuçado custa \(y\) euros. Quanto gastaram os dois amigos juntos?
Resolução:
Podemos representar o custo dos rebuçados da Maria como 4y euros e o custo dos rebuçados do Pedro como 6y euros.
Então, a expressão que representa o custo total é: $$4y+6y$$
Como as expressões \(4y\) e \(6y\) têm a mesma parte literal \((y)\), são chamadas de termos semelhantes.
Para simplificar a expressão, somamos apenas os coeficientes dos termos semelhantes, mantendo a parte literal: $$4y+6y=10y$$
Dessa forma, os dois amigos gastaram juntos \(10y\) euros.
Exemplo 2 (Partes literais diferentes)
Considera a seguinte moldura triangular com os comprimentos dos lados apresentados.
Resolução:
Para calcular o perímetro do triângulo, somamos os comprimentos dos três lados:
$$Perímetro=(a+2)+(b+3)+(a-1)$$
Agora, vamos simplificar esta expressão. Primeiro, agrupamos os termos semelhantes e somamos as partes numéricas:
$$=a+a+b+2+3-1$$
Depois de organizar e simplificar, obtemos:
$$=2a+b+4$$
Já não é possível simplificar mais, pois as expressões \(2a\), \(b\) e \(4\) têm partes literais diferentes.
Uma equação é uma igualdade entre duas expressões numéricas. São sempre divididas por um sinal de igual \((=)\).
As equações são utilizadas para encontrar o valor desconhecido de uma variável que torna a equação verdadeira. Para representar este valor desconhecido, usamos uma letra. Por exemplo, na equação \(2x+3=7\), o nosso objetivo é descobrir qual o valor de \(x\) que faz com que a equação seja verdadeira.
Os termos que contêm a variável desconhecida são chamados de termos com incógnita, enquanto os termos que não contêm a incógnita são chamados de termos independentes.
Exemplo 3
Na equação \(2x+3=-4x+7\):
Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita que torna a equação verdadeira. Para isso, deves seguir alguns passos simples:
1.Organizar os Termos com Incógnita e Termos Independentes:
Começa por reorganizar a equação, ao “passar” todos os termos com incógnita para um lado do sinal de igual e todos os termos independentes para o outro lado. Para fazer isso, ao mudar um termo de um lado para o outro, deves alterar o sinal do termo que estás a “mover”.
Exemplo: Na equação \(2x+3=7\), queremos passar o termo independente \((3)\) para o outro lado: $$2x=7-3$$
2.Simplificar as Expressões:
Agora, simplifica as expressões em ambos os lados da equação, realizando as operações necessárias. No nosso exemplo, subtraímos \(7\) por \(3\): $$2x=4$$
3.Isolar a Incógnita:
Para encontrar o valor de \(x\), precisas de isolar a incógnita. Para isso, divide ambos os lados da equação pelo coeficiente do termo com incógnita (neste caso, \(2\)): $$x=\frac{4}{2}$$
O resultado é: $$x=2$$
4.Escrever o Conjunto-Solução:
Após isolar a incógnita, o valor obtido é a solução da equação. Escreve a solução de forma clara. Neste exemplo, a solução é \(x=2\). O conjunto-solução pode ser escrito como: $$C.S=\left\{ 2 \right\}$$
Existem diferentes abordagens para compreender e resolver uma equação. Estes passos fornecem uma metodologia clara e prática para a sua resolução. Nos próximos artigos, exploraremos outras formas de entender os processos envolvidos na resolução de equações.